3. Докажите тождество: $\dfrac{c^2}{(c-5)^2}\cdot\dfrac{25-c^2}{5c+25}+\dfrac{c}{c-5}=-\dfrac{c}{5}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Докажите тождество: $\dfrac{c^2}{(c-5)^2}\cdot\dfrac{25-c^2}{5c+25}+\dfrac{c}{c-5}=-\dfrac{c}{5}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Область допустимых значений: $c\ne5$ и $c\ne-5$, поскольку знаменатели исходного выражения не должны обращаться в ноль.

Разложим на множители: $25-c^2=-(c-5)(c+5)$, а $5c+25=5(c+5)$.

Тогда левая часть равна:

$\dfrac{c^2}{(c-5)^2}\cdot\dfrac{-(c-5)(c+5)}{5(c+5)}+\dfrac{c}{c-5}=-\dfrac{c^2}{5(c-5)}+\dfrac{c}{c-5}$.

Приведём к общему знаменателю:

$-\dfrac{c^2}{5(c-5)}+\dfrac{c}{c-5}=\dfrac{-c^2+5c}{5(c-5)}=\dfrac{-c(c-5)}{5(c-5)}=-\dfrac{c}{5}$.

Получили правую часть тождества, следовательно, тождество доказано при $c\ne\pm5$.

3. Докажите тождество: \(\dfrac{c^2}{(c-5)^2}\cdot\dfrac{25-c^2}{5c+25}+\dfrac{c}{c-5}=-\dfrac{c}{5}\).