3. Докажите тождество: $\frac{c^2}{(c-5)^2}\cdot\frac{25-c^2}{5c+25}+\frac{c}{c-5}=-\frac{c}{5}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Докажите тождество: $\frac{c^2}{(c-5)^2}\cdot\frac{25-c^2}{5c+25}+\frac{c}{c-5}=-\frac{c}{5}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Область допустимых значений: $c\ne5$ и $c\ne-5$, поскольку знаменатели не должны обращаться в ноль.

Разложим разность квадратов и вынесем 5 в знаменателе: $25-c^2=-(c-5)(c+5)$, $5c+25=5(c+5)$.

Преобразуем левую часть:

$\frac{c^2}{(c-5)^2}\cdot\frac{-(c-5)(c+5)}{5(c+5)}+\frac{c}{c-5}=-\frac{c^2}{5(c-5)}+\frac{c}{c-5}$.

Приведём слагаемые к общему знаменателю:

$-\frac{c^2}{5(c-5)}+\frac{5c}{5(c-5)}=\frac{-c^2+5c}{5(c-5)}=\frac{-c(c-5)}{5(c-5)}=-\frac{c}{5}$.

Получили правую часть равенства, следовательно, тождество доказано при $c\ne\pm5$.

3. Докажите тождество: \(\frac{c^2}{(c-5)^2}\cdot\frac{25-c^2}{5c+25}+\frac{c}{c-5}=-\frac{c}{5}\).