3. Докажите тождество: $\left(\frac{2y+1}{y^2+6y+9}-\frac{y-2}{y^2+3y}\right):\frac{y^2+6}{y^3-9y}=\frac{y-3}{y+3}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Докажите тождество: $\left(\frac{2y+1}{y^2+6y+9}-\frac{y-2}{y^2+3y}\right):\frac{y^2+6}{y^3-9y}=\frac{y-3}{y+3}$.$ Фото задания

3. Докажите тождество: $\left(\frac{2y+1}{y^2+6y+9}-\frac{y-2}{y^2+3y}\right):\frac{y^2+6}{y^3-9y}=\frac{y-3}{y+3}$.

Accepted Answer

Область допустимых значений: $y\ne-3,0,3$. Также $y^2+6\ne0$ для действительных $y$.

Разложим знаменатели на множители: $y^2+6y+9=(y+3)^2$, $y^2+3y=y(y+3)$, $y^3-9y=y(y-3)(y+3)$.
Приведём выражение в скобках к общему знаменателю: $\frac{y(2y+1)-(y-2)(y+3)}{y(y+3)^2}=\frac{y^2+6}{y(y+3)^2}$.
Выполним деление на дробь: $\frac{y^2+6}{y(y+3)^2}\cdot\frac{y(y-3)(y+3)}{y^2+6}=\frac{y-3}{y+3}$.

Левая часть равна правой при всех допустимых значениях $y$, следовательно, тождество доказано.

3. Докажите тождество: \(\left(\frac{2y+1}{y^2+6y+9}-\frac{y-2}{y^2+3y}\right):\frac{y^2+6}{y^3-9y}=\frac{y-3}{y+3}\).

Ответ: