3) Докажите тождество: \(\left(\frac{m^2}{m+5}-\frac{m^3}{m^2+10m+25}\right):\left(\frac{m}{m+5}-\frac{m^2}{m^2-25}\right)=\frac{5m-m^2}{m+5}\).

Область допустимых значений: \(m\ne-5,\ m\ne5,\ m\ne0\).

Разложим знаменатели:

\(m^2+10m+25=(m+5)^2\), \(m^2-25=(m-5)(m+5)\).

Упростим первую скобку:

\(\displaystyle \frac{m^2}{m+5}-\frac{m^3}{(m+5)^2}=\frac{m^2(m+5)-m^3}{(m+5)^2}=\frac{5m^2}{(m+5)^2}\).

Упростим вторую скобку:

\(\displaystyle \frac{m}{m+5}-\frac{m^2}{m^2-25}=\frac{m(m-5)-m^2}{m^2-25}=-\frac{5m}{m^2-25}\).

Выполним деление:

\(\displaystyle \frac{5m^2}{(m+5)^2}:\left(-\frac{5m}{m^2-25}\right)=\frac{5m^2}{(m+5)^2}\cdot\frac{-(m^2-25)}{5m}\).

\(\displaystyle =-\frac{m(m-5)(m+5)}{(m+5)^2}=\frac{m(5-m)}{m+5}=\frac{5m-m^2}{m+5}\).

Левая часть равна правой, тождество доказано.