3. Две стороны треугольника и радиус описанной окружности относятся соответственно как √3 : √2 : 1. Найдите углы треугольника. Сколько решений имеет задача?

Обозначим данные стороны через \(a=\sqrt{3}R\) и \(b=\sqrt{2}R\). По теореме синусов \(a=2R\sin A\), \(b=2R\sin B\), поэтому \(\sin A=\sqrt{3}/2\) и \(\sin B=\sqrt{2}/2\).

Отсюда \(A=60°\) или \(120°\), а \(B=45°\) или \(135°\). Сумма углов треугольника меньше 180°, поэтому возможны только два сочетания: \(A=60°\), \(B=45°\), тогда \(C=75°\); либо \(A=120°\), \(B=45°\), тогда \(C=15°\). В обоих случаях третий угол задаёт сторону, а значит, радиус описанной окружности и все отношения согласованы.

Ответ: углы 60°, 45°, 75° или 120°, 45°, 15°. Задача имеет 2 решения.