3. Две стороны треугольника равны 8 см и 4√3 см, а угол между ними — 30°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Обозначим третью сторону через \(c\). По теореме косинусов:

\(c^2=8^2+(4\sqrt3)^2-2\cdot8\cdot4\sqrt3\cdot\cos30^\circ=64+48-96=16\), значит, \(c=4\) см.

Площадь найдём по двум сторонам и углу между ними:

\(S=\dfrac12\cdot8\cdot4\sqrt3\cdot\sin30^\circ=8\sqrt3\) см².

Ответ: третья сторона — 4 см; площадь — 8√3 см².