3. Две вершины квадрата расположены на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, а две другие — на катетах. Найдите сторону квадрата, если гипотенуза равна a.

Обозначим катеты треугольника через оси координат, а вершину прямого угла поместим в начало координат. Пусть длина катета равна \(L\). Тогда гипотенуза задаётся уравнением \(x+y=L\), а её длина равна \(L\sqrt{2}=a\).

Пусть сторона квадрата равна \(s\). Его вершины на катетах имеют координаты \((u,0)\) и \((0,u)\): отрезок между ними — сторона квадрата, параллельная гипотенузе. Две другие вершины квадрата лежат на гипотенузе, поэтому смещение на перпендикулярное направление даёт условие \(2u+s=L\). Длина стороны квадрата при этом равна расстоянию между точками на катетах: \(s=u\sqrt{2}\).

Из \(2u+s=L\) и \(u=s/\sqrt{2}\) получаем \(s(1+\sqrt{2})=L\). Так как \(L=a/\sqrt{2}\), то

\[s=\frac{a}{\sqrt{2}(1+\sqrt{2})}=\frac{a(2-\sqrt{2})}{2}.\]

Ответ: \(\dfrac{a(2-\sqrt{2})}{2}\).