6. Через произвольную точку внутри квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые, каждая из которых пересекает две противоположные стороны квадрата. Докажите, что отрезки этих прямых, заключённые внутри квадрата, равны.

Обозначим сторону квадрата через \(b\), а произвольную внутреннюю точку — через \(P\). Пусть перпендикулярные прямые пересекают пару противоположных сторон на отрезке длины \(L_1\), а другую пару — на отрезке длины \(L_2\). Обозначим через \(\theta\) угол первой прямой с горизонтальной стороной квадрата.

Для прямой с направлением \((\cos\theta,\sin\theta)\) расстояние между точками пересечения с вертикальными сторонами равно \(b/|\cos\theta|\), а с горизонтальными — \(b/|\sin\theta|\). Поэтому длины двух взаимно перпендикулярных отрезков составляют \(b/|\cos\theta|\) и \(b/|\sin\theta|\) в некотором порядке.

Поскольку вторая прямая перпендикулярна первой, угол её направления с горизонталью отличается на \(90^\circ\). Модули синуса и косинуса при таком повороте меняются местами, поэтому соответствующие длины пересекающих квадрат отрезков равны.

Следовательно, отрезки прямых, заключённые внутри квадрата, равны.