5. Через центр квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата являются вершинами ещё одного квадрата.

Пусть центр исходного квадрата — \(O\), а две перпендикулярные прямые через него имеют единичные направляющие векторы \(\mathbf u\) и \(\mathbf v\), где \(\mathbf u\perp\mathbf v\). Рассмотрим четыре точки пересечения прямых со сторонами квадрата.

Поворот на \(90^\circ\) вокруг \(O\) переводит каждую из этих точек в следующую: квадрат при таком повороте совмещается сам с собой, а одна проведённая прямая переходит в другую. Поэтому последовательные точки пересечения равноудалены от центра, а поворот переводит каждую сторону образованного четырёхугольника в следующую.

Следовательно, все четыре его стороны равны, а каждый внутренний угол прямой (поворот на \(90^\circ\)). Значит, точки являются вершинами квадрата.