4. На каждой стороне квадрата взяли по одной точке. При этом оказалось, что эти точки являются вершинами прямоугольника, стороны которого параллельны диагоналям квадрата. Найдите периметр прямоугольника, если диагональ квадрата равна 6.

Пусть сторона квадрата равна \(b\), а его центр — начало координат. Выберем оси вдоль диагоналей. Тогда квадрат задаётся условием \(|x|+|y|\leq d\), где \(d=6/2=3\).

Поскольку стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата, а его четыре вершины лежат по одной на каждой стороне квадрата, противоположные вершины прямоугольника находятся на противоположных сторонах. Его вершины можно записать как \((u,v),(-u,v),(-u,-v),(u,-v)\). Попадание вершин на стороны квадрата даёт \(u+v=d\).

Периметр прямоугольника равен \(4(u+v)=4d=12\).

Ответ: 12.