3. FC = 5, FO = 3, AP = PB, AN = ND. Найдите Sₙₚf.

Поскольку пирамида правильная, FO — высота, а O — центр квадратного основания. Из прямоугольного треугольника FOC получаем:

\(OC=\sqrt{FC^2-FO^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4.\)

Диагональ квадрата равна \(2OC=8\), поэтому его сторона \(a=8/\sqrt{2}=4\sqrt{2}\). Точки P и N — середины AB и AD соответственно.

Введём координаты: \(A=(-a/2,-a/2,0)\), \(B=(-a/2,a/2,0)\), \(D=(a/2,-a/2,0)\), \(F=(0,0,3)\). Тогда \(P=(-a/2,0,0)\), \(N=(0,-a/2,0)\).

Площадь треугольника NPF равна половине модуля векторного произведения \(\overrightarrow{NP}\) и \(\overrightarrow{NF}\):

\(S_{NPF}=\frac12\sqrt{(3a/2)^2+(3a/2)^2+(a^2/4)^2}.\)

Подставляем \(a=4\sqrt{2}\):

\(S_{NPF}=\frac12\sqrt{(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2+8^2}=2\sqrt{22}.\)

Ответ: \(2\sqrt{22}\).