3) \( \frac{(5^2 \cdot 5^{-3})^4}{(5^{-5} \cdot 5^3)^3} = \)

Решение:

Используем свойства степеней:

1. \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
2. \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
3. \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

Шаг 1: Упростим числитель.

\[ (5^2 \cdot 5^{-3})^4 = (5^{2+(-3)})^4 = (5^{-1})^4 = 5^{-1 \cdot 4} = 5^{-4} \]

Шаг 2: Упростим знаменатель.

\[ (5^{-5} \cdot 5^3)^3 = (5^{-5+3})^3 = (5^{-2})^3 = 5^{-2 \cdot 3} = 5^{-6} \]

Шаг 3: Разделим степени с одинаковым основанием.

\[ \frac{5^{-4}}{5^{-6}} = 5^{-4 - (-6)} = 5^{-4+6} = 5^2 \]

Шаг 4: Вычислим значение.

\[ 5^2 = 25 \]

Ответ: 25