3) $$\frac{x}{x-3} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^2 - 3x} \le 0$$.

Решение:

Приведем дробь к общему знаменателю:

\( x^2 - 3x = x(x - 3) \)

Общий знаменатель: \( x(x - 3) \).

\( \frac{x · x}{x(x - 3)} + \frac{2 · (x - 3)}{x(x - 3)} - \frac{2}{x(x - 3)} \le 0 \)

\( \frac{x^2 + 2x - 6 - 2}{x(x - 3)} \le 0 \)

\( \frac{x^2 + 2x - 8}{x(x - 3)} \le 0 \)

Найдем корни числителя \( x^2 + 2x - 8 = 0 \):

\( x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2} \)

\( x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)

Найдем корни знаменателя:

• \( x = 0 \)
• \( x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \)

Отметим корни на числовой оси: -4, 0, 2, 3. Они разбивают ось на интервалы:

• \( (-\infty, -4] \)
• \( [-4, 0) \)
• \( (0, 2] \)
• \( [2, 3) \)
• \( (3, \infty) \)

Определим знак дроби в каждом интервале:

• При \( x < -4 \) (например, \( x = -5 \)): \( \frac{(-5)^2 + 2(-5) - 8}{-5(-5 - 3)} = \frac{25 - 10 - 8}{-5(-8)} = \frac{7}{40} > 0 \)
• При \( -4 < x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( \frac{(-1)^2 + 2(-1) - 8}{-1(-1 - 3)} = \frac{1 - 2 - 8}{-1(-4)} = \frac{-9}{4} < 0 \)
• При \( 0 < x < 2 \) (например, \( x = 1 \)): \( \frac{1^2 + 2(1) - 8}{1(1 - 3)} = \frac{1 + 2 - 8}{1(-2)} = \frac{-5}{-2} = \frac{5}{2} > 0 \)
• При \( 2 < x < 3 \) (например, \( x = 2.5 \)): \( \frac{2.5^2 + 2(2.5) - 8}{2.5(2.5 - 3)} = \frac{6.25 + 5 - 8}{2.5(-0.5)} = \frac{3.25}{-1.25} < 0 \)
• При \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)): \( \frac{4^2 + 2(4) - 8}{4(4 - 3)} = \frac{16 + 8 - 8}{4(1)} = \frac{16}{4} = 4 > 0 \)

Нам нужно, чтобы дробь была меньше или равна нулю. Корни числителя \( -4 \) и \( 2 \) включаются в решение, а корни знаменателя \( 0 \) и \( 3 \) — нет.

Ответ: \( x \in [-4, 0) \cup [2, 3) \).