4) (x² - 36)√x + 4 ≥ 0.

Решение:

Рассмотрим неравенство \( (x^2 - 36)\sqrt{x + 4} \ge 0 \).

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

\( x + 4 \ge 0 \Rightarrow x \ge -4 \).

Теперь проанализируем знаки множителей:

1. Множитель \( \sqrt{x + 4} \):

Для \( x > -4 \), \( \sqrt{x + 4} > 0 \).

При \( x = -4 \), \( \sqrt{x + 4} = 0 \). В этом случае всё произведение равно 0, что удовлетворяет неравенству.

Итак, при \( x = -4 \) неравенство выполняется.

2. Множитель \( x^2 - 36 \):

Найдем корни уравнения \( x^2 - 36 = 0 \):

\( x^2 = 36 \Rightarrow x = \pm 6 \).

Этот множитель неотрицателен, когда \( x^2 - 36 \ge 0 \), то есть \( x \le -6 \) или \( x \ge 6 \).

Этот множитель отрицателен, когда \( x^2 - 36 < 0 \), то есть \( -6 < x < 6 \).

Теперь объединим условия с учетом ОДЗ \( x \ge -4 \):

Случай 1: \( \sqrt{x + 4} = 0 \) (т.е. \( x = -4 \)).

\( ((-4)^2 - 36) \cdot 0 = (16 - 36) \cdot 0 = -20 \cdot 0 = 0 \). \( 0 \ge 0 \) — верно. Значит, \( x = -4 \) является решением.

Случай 2: \( \sqrt{x + 4} > 0 \) (т.е. \( x > -4 \)).

В этом случае неравенство \( (x^2 - 36)\sqrt{x + 4} \ge 0 \) равносильно \( x^2 - 36 \ge 0 \).

Условие \( x^2 - 36 \ge 0 \) выполняется при \( x \le -6 \) или \( x \ge 6 \).

Теперь нужно учесть ОДЗ \( x > -4 \).

Пересечение \( (x \le -6 \text{ или } x \ge 6) \) и \( x > -4 \) дает \( x \ge 6 \).

Объединяя решения из Случая 1 и Случая 2:

\( x = -4 \) и \( x \ge 6 \).

Ответ: \( x \in \{-4\} \cup [6, \infty) \).