3. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 18 см. Квадрат построен так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах данного треугольника. Найдите сторону квадрата.

Пусть сторона квадрата равна \(x\), а катет треугольника — \(a\).

Так как треугольник равнобедренный прямоугольный, его катет:

\(a=\dfrac{18}{\sqrt2}=9\sqrt2\text{ см}\).

Сторона квадрата, лежащая на гипотенузе, и противоположная ей сторона параллельны. При смещении на расстояние \(x\) уравнение параллельной стороны даёт отрезок между катетами длиной \(a\sqrt2-x\sqrt2\). Этот отрезок является стороной квадрата:

\(x=(a-x\sqrt2)\sqrt2=a\sqrt2-2x\).

Следовательно, \(3x=a\sqrt2=9\sqrt2\cdot\sqrt2=18\).

\(x=6\text{ см}\).

Ответ: 6 см.