4. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна большему основанию, а диагональ трапеции образует с основанием угол 48°. Найдите углы трапеции.

Обозначим через \(\alpha=48^\circ\) угол между диагональю и основанием. Пусть \(p\) — горизонтальная проекция диагонали, а \(q\) — горизонтальная проекция боковой стороны. Тогда большее основание равно \(p+q\).

Из условия о равенстве боковой стороны и большего основания:

\((p+q)^2=(p\tan\alpha)^2+q^2\).

После сокращения:

\(2pq+p^2=p^2\tan^2\alpha\), поэтому \(\dfrac qp=\dfrac{\tan^2\alpha-1}{2}\).

Для угла \(\beta\) при большем основании:

\(\tan\beta=\dfrac{p\tan a\alpha}{q}=\dfrac{2\tan a\alpha}{\tan^2\alpha-1}=\tan(180^\circ-2\alpha)\).

Следовательно, \(\beta=180^\circ-2\cdot48^\circ=84^\circ\).

Второй угол трапеции supplementary ему:

\(180^\circ-84^\circ=96^\circ\).

Ответ: два угла по \(84^\circ\) и два угла по \(96^\circ\).