3. Используя результаты вычислений в задании 16, постройте график функции \(g(x)=-x^2-6x+3\). Найдите по графику: а) нули функции; промежутки, в которых \(g(x)>0\) и \(g(x)<0\); б) промежутки возрастания и убывания функции; наибольшее её значение.

Представим функцию в вершиной форме:

\(g(x)=-(x^2+6x)+3=-(x+3)^2+12\).

Значит, вершина параболы — \((-3;12)\), ветви направлены вниз.

Нули найдём из уравнения:

\(-(x+3)^2+12=0\), поэтому \((x+3)^2=12\), откуда \(x=-3\pm2\sqrt3\).

График функции:

Поскольку парабола направлена вниз, функция положительна между нулями и отрицательна вне промежутка между ними. До вершины она возрастает, после вершины убывает.

Ответ: а) нули: \(x=-3-2\sqrt3\) и \(x=-3+2\sqrt3\); \(g(x)>0\) при \(-3-2\sqrt3<x<-3+2\sqrt3\); \(g(x)<0\) при \(x<-3-2\sqrt3\) или \(x>-3+2\sqrt3\). б) Возрастает на \((-\infty;-3]\), убывает на \([-3;+\infty)\); наибольшее значение равно 12.