3. Исследовать функцию на монотонность и экстремум: f(x) = 2x^4 - 8x^3 + 12

3. Исследование функции \( f(x) = 2x^4 - 8x^3 + 12 \) на монотонность и экстремум:

1. Найдём первую производную функции:
   \( f'(x) = (2x^4 - 8x^3 + 12)' = 8x^3 - 24x^2 \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( 8x^3 - 24x^2 = 0 \)
   \( 8x^2(x - 3) = 0 \)
   Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 3 \).
3. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:
   
   • Интервал \( (-\infty, 0) \): Возьмём \( x = -1 \). \( f'(-1) = 8(-1)^2(-1 - 3) = 8(1)(-4) = -32 < 0 \). Функция убывает.
   • Интервал \( (0, 3) \): Возьмём \( x = 1 \). \( f'(1) = 8(1)^2(1 - 3) = 8(1)(-2) = -16 < 0 \). Функция убывает.
   • Интервал \( (3, +\infty) \): Возьмём \( x = 4 \). \( f'(4) = 8(4)^2(4 - 3) = 8(16)(1) = 128 > 0 \). Функция возрастает.
4. Определим точки экстремума:
   В точке \( x = 3 \) производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.
   В точке \( x = 0 \) производная не меняет знак (остается отрицательной), значит, это не точка экстремума (точка перегиба).
5. Вычислим значение функции в точке минимума:
   \( f(3) = 2(3)^4 - 8(3)^3 + 12 = 2(81) - 8(27) + 12 = 162 - 216 + 12 = -42 \)

Выводы:

• Функция убывает на интервалах \( (-\infty, 0) \) и \( (0, 3) \).
• Функция возрастает на интервале \( (3, +\infty) \).
• Точка минимума: \( x = 3 \). Минимальное значение функции: \( f(3) = -42 \).
• Точка \( x = 0 \) не является точкой экстремума.

Ответ: Функция убывает на \( (-\infty, 3) \), возрастает на \( (3, +\infty) \). Точка минимума \( x=3 \), \( f_{min} = -42 \).