6. Решить задачу: Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 см и 4 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

6. Решение задачи:

Дано:

Прямоугольный параллелепипед.
Стороны основания: \( a = 3 \) см, \( b = 4 \) см.
Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания: \( \alpha = 45^{\circ} \).

Найти:

Площадь полной поверхности \( S_{полн} \).

Решение:

1. Найдем диагональ основания \( d_{осн} \):
   Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами \( a \) и \( b \):
   \( d_{осн}^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \)
   \( d_{осн} = \sqrt{25} = 5 \) см.
2. Найдем высоту параллелепипеда \( h \):
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю основания \( d_{осн} \), высотой параллелепипеда \( h \) и диагональю параллелепипеда \( D \). Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания — это угол \( \alpha \), прилежащий к катету \( d_{осн} \).
   По определению тангенса угла в прямоугольном треугольнике:
   \( \tan(\alpha) = \frac{h}{d_{осн}} \)
   \( \tan(45^{\circ}) = \frac{h}{5} \)
   \( 1 = \frac{h}{5} \)
   \( h = 5 \) см.
3. Найдем площадь полной поверхности параллелепипеда:
   Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
   \( S_{полн} = 2(ab + ah + bh) \)
   Подставим известные значения:
   \( S_{полн} = 2((3 \cdot 4) + (3 \cdot 5) + (4 \cdot 5)) \)
   \( S_{полн} = 2(12 + 15 + 20) \)
   \( S_{poln} = 2(47) \)
   \( S_{poln} = 94 \) см².

Ответ: Площадь полной поверхности параллелепипеда равна 94 см².