3. Из точки A, которая лежит вне плоскости α, проведены к этой плоскости наклонные AC и AD, образующие с ней углы 45° и 60° соответственно. Найдите длину проекции наклонной AD на плоскость α, если AC = 4√2 см.

Опустим из A перпендикуляр AH на плоскость α. Длина проекции наклонной на плоскость равна длине наклонной, умноженной на косинус угла между наклонной и плоскостью.

Для AC: AH = AC · sin 45° = 4√2 · √2/2 = 4 см.

Для AD: sin 60° = AH/AD, поэтому AD = 4/(√3/2) = 8/√3 см. Длина проекции AD равна AD · cos 60° = (8/√3) · 1/2 = 4/√3 см.

Ответ: 4/√3 см, или 4√3/3 см.