4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что AB = AD. На рёбрах AB и CD отметили точки K и M соответственно так, что AK : KB = 1 : 3, CM : MD = 1 : 2. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку K и перпендикулярной прямой BM. В каком отношении секущая плоскость делит ребро B₁C₁?

Введём координаты: A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), C(1,1,0), а верхние вершины имеют ту же пару первых координат и одинаковую положительную высоту. Масштаб сторон основания выбран условно: AB = AD.

Из AK:KB = 1:3 получаем K(1/4,0,0). Из CM:MD = 1:2 получаем M(2/3,1,0). Направляющий вектор BM равен (−1/3,1,0). Он является нормалью к секущей плоскости.

Уравнение плоскости через K с такой нормалью: −(x−1/4)/3 + y = 0, то есть y = (x−1/4)/3. На ребре BC имеем x = 1, поэтому y = 1/4. Пусть P — точка пересечения плоскости с BC, а P₁ — её пересечение с B₁C₁. Тогда BP = B₁P₁ = 1/4 соответствующего ребра, следовательно, B₁P₁:P₁C₁ = 1:3.

Плоскость параллельна боковым рёбрам, поэтому её сечение — четырёхугольник KPP₁K₁, где K₁ лежит на A₁B₁ прямо над K.

Ответ: сечение — четырёхугольник KPP₁K₁; ребро B₁C₁ делится точкой P₁ в отношении B₁P₁:P₁C₁ = 1:3.