3. Из точки А, взятой вне окружности, проведены касательная AB (В — точка касания) и секущая AD (С и D — точки пересечения с окружностью, C ∈ AD). Найдите угол DAB, если ∠СВ = 40°, ∠DB = 100°.

Решение:

Угол \( \angle DAB \) — это вписанный угол, опирающийся на дугу \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{DB} \).

По условию \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{DB} = 100^{\circ} \).

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: \( \angle DAB = \frac{1}{2} \buildrel{\LARGE\frown}\over{DB} = \frac{1}{2} \cdot 100^{\circ} = 50^{\circ} \).

Проверим с помощью угла \( \angle CB = 40^{\circ} \).

Угол \( \angle CBD \) — вписанный, опирается на дугу \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{CD} \). \( \angle CBD = \frac{1}{2} \buildrel{\LARGE\frown}\over{CD} \).

Угол \( \angle ACB \) — вписанный, опирается на дугу \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{AB} \).

Угол \( \angle ADB \) — вписанный, опирается на дугу \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{AB} \).

Угол \( \angle CAD \) — вписанный, опирается на дугу \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{CD} \).

Угол \( \angle CDB \) — вписанный, опирается на дугу \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{CB} \). \( \angle CDB = \frac{1}{2} \buildrel{\LARGE\frown}\over{CB} = \frac{1}{2} \cdot 40^{\circ} = 20^{\circ} \).

В \( \triangle ABD \), сумма углов равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle ABD + \angle BDA + \angle DAB = 180^{\circ} \).

\( \angle ABD + \angle CDB + \angle DAB = 180^{\circ} \).

\( \angle ABD + 20^{\circ} + 50^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( \angle ABD = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \).

Известно, что \( \angle ABC \) — угол между касательной \( AB \) и хордой \( BC \). Он равен половине дуги \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{BC} \). \( \angle ABC = \frac{1}{2} \buildrel{\LARGE\frown}\over{BC} \).

По условию \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{CB} = 40^{\circ} \), значит \( \angle ABC = 40^{\circ}/2 = 20^{\circ} \).

Однако, \( \angle ABD = 110^{\circ} \), а \( \angle ABC = 20^{\circ} \).

Возможно, \( \angle C B D = 40^{\circ} \) и \( \angle D B = 100^{\circ} \) — это дуги.

Если \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{CB} = 40^{\circ} \) и \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{DB} = 100^{\circ} \).

Тогда \( \angle DAB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{DB} \).

\( \angle DAB = \frac{1}{2} \buildrel{\LARGE\frown}\over{DB} = \frac{1}{2} \cdot 100^{\circ} = 50^{\circ} \).

Ответ: 50°