3) К окружности с центром в точке О проведены две касательные MK и HK. Угол MKO равен 28°. Найдите градусную меру угла MHO (Рис. 3).

Решение:

1. Свойства касательных: Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \(\angle OMK = 90^{\circ}\) и \(\angle OHK = 90^{\circ}\).
2. Равнобедренный треугольник: Треугольник MKO равнобедренный, так как OM = OK (радиусы). Поэтому \(\angle MOK = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 28^{\circ} = 62^{\circ}\).
3. Симметрия: Треугольники MKO и HKO равны по гипотенузе и острому углу (OK - общая гипотенуза, \(\angle MKO = \angle HKO = 28^{\circ}\) — это неверно. Мы знаем, что MK = HK, а OK - общая сторона.
4. Треугольник MHK: Угол MHK является центральным углом, опирающимся на дугу MK.
5. Треугольник OHK: Угол OHK = 90°.
6. Рассмотрим треугольники MKO и HKO: OM=OH (радиусы), MK=HK (касательные, проведенные из одной точки), OK - общая сторона. Следовательно, \(\triangle MKO = \triangle HKO\) по трем сторонам.
7. Углы: \(\angle MOK = \angle HOK = 62^{\circ}\) и \(\angle OKM = \angle OKH = 28^{\circ}\).
8. Угол MHO: Угол MHO является частью угла OHK, который равен 90°.
9. Треугольник OMH: OM = OH (радиусы), следовательно, \(\triangle OMH\) - равнобедренный. \(\angle MOH = \angle MOK + \angle HOK = 62^{\circ} + 62^{\circ} = 124^{\circ}\).
10. Угол OMH и OНM: \(\angle OMH = \angle OHM = \frac{180^{\circ} - 124^{\circ}}{2} = \frac{56^{\circ}}{2} = 28^{\circ}\).

Ответ: $$28^{\circ}$$