Найти все углы треугольника 51

Решение:

1. Пропорциональность сторон: Стороны треугольника ABC относятся как 7:11:6. Пусть коэффициент пропорциональности равен \(k\). Тогда \(AB = 7k\), \(BC = 11k\), \(AC = 6k\).
2. Теорема косинусов: Применим теорему косинусов для нахождения углов треугольника.
   • Для угла A: \(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A\)
   • \((11k)^2 = (7k)^2 + (6k)^2 - 2 \cdot (7k) \cdot (6k) \cdot \cos A\)
   • \(121k^2 = 49k^2 + 36k^2 - 84k^2 \cdot \cos A\)
   • \(121k^2 = 85k^2 - 84k^2 \cdot \cos A\)
   • \(36k^2 = -84k^2 \cdot \cos A\)
   • \(\cos A = -\frac{36}{84} = -\frac{3}{7}\)
   • \(A = \arccos(-\frac{3}{7})\)
3. Для угла B: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B\)
   • \((6k)^2 = (7k)^2 + (11k)^2 - 2 \cdot (7k) \cdot (11k) \cdot \cos B\)
   • \(36k^2 = 49k^2 + 121k^2 - 154k^2 \cdot \cos B\)
   • \(36k^2 = 170k^2 - 154k^2 \cdot \cos B\)
   • \(154k^2 \cdot \cos B = 134k^2\)
   • \(\cos B = \frac{134}{154} = \frac{67}{77}\)
   • \(B = \arccos(\frac{67}{77})\)
4. Для угла C: \(AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C\)
   • \((7k)^2 = (6k)^2 + (11k)^2 - 2 \cdot (6k) \cdot (11k) \cdot \cos C\)
   • \(49k^2 = 36k^2 + 121k^2 - 132k^2 \cdot \cos C\)
   • \(49k^2 = 157k^2 - 132k^2 \cdot \cos C\)
   • \(132k^2 \cdot \cos C = 108k^2\)
   • \(\cos C = \frac{108}{132} = \frac{9}{11}\)
   • \(C = \arccos(\frac{9}{11})\)

Ответ: Углы треугольника равны $$\arccos(-\frac{3}{7})$$, $$\arccos(\frac{67}{77})$$ и $$\arccos(\frac{9}{11})$$.