3. Касательные к окружности с центром О в точках А и В пересекаются под углом 82°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Задание 3

Дано:

• Окружность с центром O.
• Касательные к окружности в точках A и B пересекаются под углом 82°.

Найти: угол ABO.

Решение:

1. Пусть точка пересечения касательных будет C. Тогда ∠ACB = 82°.
2. Так как CA и CB — касательные, проведенные из одной точки, то OA = OB (радиусы) и CA = CB.
3. Кроме того, радиусы, проведенные к точкам касания, перпендикулярны касательным: ∠OAC = 90° и ∠OBC = 90°.
4. Рассмотрим четырехугольник OACB. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.
5. ∠AOB + ∠OAC + ∠ACB + ∠OBC = 360°
6. ∠AOB + 90° + 82° + 90° = 360°
7. ∠AOB + 262° = 360°
8. ∠AOB = 360° - 262° = 98°.
9. Теперь рассмотрим треугольник ABO. Он равнобедренный, так как OA = OB (радиусы).
10. Сумма углов в треугольнике равна 180°:
11. ∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°
12. Так как OA = OB, то ∠OAB = ∠OBA.
13. 2 * ∠OBA + 98° = 180°
14. 2 * ∠OBA = 180° - 98°
15. 2 * ∠OBA = 82°
16. ∠OBA = 82° / 2 = 41°.

Ответ: 41