3. Катеты прямоугольного треугольника равны 6√19 и 54. Найдите синус наибольшего острого угла этого треугольника.

Наибольший острый угол лежит напротив большего катета. Поскольку \(6\sqrt{19}<54\), его противолежащий катет равен 54.

Найдём гипотенузу по теореме Пифагора: \(c=\sqrt{(6\sqrt{19})^2+54^2}=\sqrt{684+2916}=60\).

Синус искомого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: \(\sin\alpha=\frac{54}{60}=\frac{9}{10}\).

Ответ: \(\frac{9}{10}\).