3) $\log_5(x-1)+\log_{0.2}\left(\frac{x}{x+1}\right)=0$

Question

Вопрос: $Фото задания: 3) $\log_5(x-1)+\log_{0.2}\left(\frac{x}{x+1}\right)=0$$ Фото задания

Accepted Answer

Область определения: $x-1>0$, значит $x>1$; тогда также $\frac{x}{x+1}>0$.

Так как $0.2=\frac15$, имеем $\log_{0.2}(a)=-\log_5(a)$. Уравнение принимает вид:

$\log_5(x-1)-\log_5\left(\frac{x}{x+1}\right)=0$.

Объединяем логарифмы: $\log_5\left(\frac{(x-1)(x+1)}{x}\right)=0$. Следовательно, $\frac{x^2-1}{x}=1$, то есть $x^2-x-1=0$.

Корни: $x=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$. Условию $x>1$ удовлетворяет только положительный корень.

Ответ: $x=\frac{1+\sqrt5}{2}$.

3) \(\log_5(x-1)+\log_{0.2}\left(\frac{x}{x+1}\right)=0\)