4) $\log_3\left(\frac{x-4}{3x-4}\right)-\log_{1/3}\left(\frac{2x-1}{x-5}\right)=0$

Question

Вопрос: $Фото задания: 4) $\log_3\left(\frac{x-4}{3x-4}\right)-\log_{1/3}\left(\frac{2x-1}{x-5}\right)=0$$ Фото задания

4) $\log_3\left(\frac{x-4}{3x-4}\right)-\log_{1/3}\left(\frac{2x-1}{x-5}\right)=0$

Accepted Answer

Область определения задаётся условиями $\frac{x-4}{3x-4}>0$ и $\frac{2x-1}{x-5}>0$.

Поскольку $\log_{1/3}(a)=-\log_3(a)$, исходное уравнение равносильно:

$\log_3\left(\frac{x-4}{3x-4}\right)+\log_3\left(\frac{2x-1}{x-5}\right)=0$.

Объединяем логарифмы и приравниваем их положительное произведение к единице:

$\frac{(x-4)(2x-1)}{(3x-4)(x-5)}=1$.

Раскрываем скобки: $2x^2-9x+4=3x^2-19x+20$, откуда $x^2-10x+16=0$. Корни: $x=2$ и $x=8$.

Из условия $\frac{x-4}{3x-4}>0$ следует $x<\frac43$ или $x>4$. Из условия $\frac{2x-1}{x-5}>0$ следует $x<\frac12$ или $x>5$. Общая область определения: $x<\frac12$ или $x>5$. Поэтому подходит только $x=8$.

Ответ: $x=8$.

4) \(\log_3\left(\frac{x-4}{3x-4}\right)-\log_{1/3}\left(\frac{2x-1}{x-5}\right)=0\)

Ответ: