Ответ:

1. Красоты, не меркнущей с годами: причастие имеет зависимое слово «с годами», поэтому НЕ раздельно.

2. Дон далеко не широкий: прилагательное с усилительным словом «далеко» пишется с НЕ раздельно.

3. Болезней не будет: НЕ с глаголом пишется раздельно.

4. Незабываемые трели: прилагательное без противопоставления можно заменить словом «памятные»; не определённую, а устоявшийся тип: есть противопоставление с союзом «а», поэтому НЕ раздельно.