3. На доске написано число 12. Каждую минуту число умножают или делят на 2 либо на 3, и результат записывают вместо исходного. Может ли число, написанное ровно через час, быть равным 54?

Запишем числа как произведения степеней 2 и 3: \(12=2^2\cdot3^1\), а \(54=2^1\cdot3^3\).

Рассмотрим сумму показателей степеней 2 и 3. У числа 12 она равна \(2+1=3\), то есть нечётна. Каждое умножение или деление на 2 либо на 3 изменяет один показатель на 1 или на −1, а значит, меняет чётность суммы показателей.

За 60 минут чётность изменится 60 раз и останется исходной — нечётной. У числа 54 сумма показателей равна \(1+3=4\), она чётная.

Ответ: нет, через час число 54 получить нельзя.