4. В вершинах куба расставлены числа: 7 нулей и одна единица. За один ход разрешается прибавить по единице к числам в концах любого ребра. Можно ли добиться, чтобы: а) все числа стали равными; б) все числа делились на 3?

а) Сумма чисел изначально равна 1. За каждый ход она увеличивается на 2, поэтому всегда остаётся нечётной. Если бы все 8 чисел стали равными целому числу \(k\), их сумма была бы \(8k\), то есть чётной. Противоречие.

б) Разобьём вершины куба на две группы по 4 вершины так, чтобы концы каждого ребра принадлежали разным группам. При каждом ходе сумма чисел в обеих группах увеличивается на 1, поэтому разность этих сумм не меняется. Изначально эта разность равна 1 или −1. Если бы все числа делились на 3, обе суммы и их разность делились бы на 3, что невозможно для разности 1 или −1.

Ответ: ни в пункте а), ни в пункте б) добиться требуемого нельзя.