3. На окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты точки М и N. Известно, что ∠NBA = 38°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол \( \angle NBA \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( \overset{\frown}{NA} \). Следовательно, \( \overset{\frown}{NA} = 2 \cdot \angle NBA = 2 \cdot 38^{\circ} = 76^{\circ} \).

Так как \( AB \) — диаметр, то угол \( \angle ANB \) опирается на полуокружность и равен \( 90^{\circ} \).

В треугольнике \( \triangle ANB \): \( \angle NAB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 76^{\circ} = 14^{\circ} \).

Угол \( \angle NMB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( \overset{\frown}{NB} \).

Дуга \( \overset{\frown}{NB} \) является полуокружностью минус дуга \( \overset{\frown}{AN} \), т.е. \( \overset{\frown}{NB} = 180^{\circ} - \overset{\frown}{NA} = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ} \).

\( \angle NMB = \frac{1}{2} \overset{\frown}{NB} = \frac{1}{2} \cdot 104^{\circ} = 52^{\circ} \).

Альтернативное решение:

Угол \( \angle NMB \) и угол \( \angle NAB \) опираются на одну дугу \( \overset{\frown}{NB} \), следовательно, \( \angle NMB = \angle NAB \).

Мы нашли \( \angle NAB = 14^{\circ} \).

Проверка:

\( \angle NBA = 38^{\circ} \). \( \angle NAB = 14^{\circ} \).

В \( \triangle AMN \) \( \angle MAN = \angle NAB = 14^{\circ} \).

Угол \( \angle AMN \) опирается на дугу \( \overset{\frown}{AN} \) = 76°. \( \angle AMN = 76^{\circ}/2 = 38^{\circ} \).

В \( \triangle AMB \) \( \angle AMB = 90^{\circ} \) (опирается на диаметр).

\( \angle NMB = \angle AMB - \angle AMN = 90^{\circ} - 38^{\circ} = 52^{\circ} \).

Ответ: 52 градуса.