5. В окружности с центром О отрезки АС и BD — диаметры. Угол АСВ равен 36°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол \( \angle ACB = 36^{\circ} \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( \overset{\frown}{AB} \).

Следовательно, величина дуги \( \overset{\frown}{AB} = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 36^{\circ} = 72^{\circ} \).

Так как \( AC \) — диаметр, то дуга \( \overset{\frown}{ABC} = 180^{\circ} \).

Дуга \( \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{ABC} - \overset{\frown}{AB} = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ} \).

Центральный угол \( \angle AOD \) и центральный угол \( \angle BOC \) являются вертикальными, поэтому \( \angle AOD = \angle BOC \).

Центральный угол \( \angle BOC \) опирается на дугу \( \overset{\frown}{BC} \).

Следовательно, \( \angle BOC = \overset{\frown}{BC} = 108^{\circ} \).

Так как \( \angle AOD = \angle BOC \), то \( \angle AOD = 108^{\circ} \).

Ответ: 108 градусов.