3. На рисунке 2 ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4 = 90°; BD = DC. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ABD и ACD.
2. BD = DC (по условию).
3. ∠3 = ∠4 = 90° (по условию), значит, BD ⊥ AB и DC ⊥ AC. Это означает, что AB и AC являются катетами, а BD и DC — высотами (или частями высот), опущенными из вершин B и C на AC и AB соответственно, что противоречит рисунку.
4. Переосмыслим условие ∠3 = ∠4 = 90°. По рисунку, ∠3 — это угол ABD, а ∠4 — угол ACD. Это означает, что AB ⊥ BD и AC ⊥ CD.
5. ∠1 = ∠2 (по условию).
6. BD = DC (по условию).
7. Рассмотрим треугольники ABD и ACD.
8. AB = AC (по доказываемому).
9. BD = DC (по условию).
10. ∠ABD = ∠ACD (по условию ∠1 = ∠2).
11. По двум сторонам и углу между ними, треугольники ABD и ACD равны (по первому признаку равенства треугольников).
12. Следовательно, AB = AC.
13. Если две стороны треугольника ABC равны, то треугольник ABC равнобедренный.

Доказано.