3. На рисунке 31, в изображён куб. Точки O, F, K, P лежат соответственно на рёбрах AB, BC, CD и AD грани ABCD. Вычислите периметр четырёхугольника OFKP, если известно, что ∠AOP = 30° и BO = AP = DK = FC = 3 см.

1. Пусть ребро куба равно s. На квадратной грани ABCD имеем AO = AB − BO = s − 3 и AP = 3.
2. Треугольник AOP прямоугольный при A. Из условия ∠AOP = 30°: \(\tan 30^\circ = \frac{AP}{AO} = \frac{3}{s-3}\). Поэтому \(s-3=3\sqrt{3}\).
3. Введём координаты на грани: A(0,0), B(s,0), C(s,s), D(0,s). Тогда O(s-3,0), F(s,s-3), K(3,s), P(0,3).
4. Сторона OF имеет горизонтальное и вертикальное приращения по 3, поэтому \(OF=\sqrt{3^2+3^2}\) — это неверно, так как горизонтальное приращение равно 3, а вертикальное также равно s-3\). Пересчитаем расстояния: между O и F приращения равны 3 и s-3=3\(\sqrt\)3, значит OF=6.
5. Аналогично для остальных сторон: приращения каждой пары соседних точек равны 3 и 3\(\sqrt\)3, следовательно, OF=FK=KP=PO=6.
6. Тогда периметр OFKP равен 4·6=24 см.

Ответ: 24 см.