4. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Отрезок OP — биссектриса треугольника BOC, а отрезок OK — перпендикуляр, проведённый к стороне DC. Вычислите градусную меру угла POK, если AC = AB.

1. Пусть сторона ромба равна a, а угол DAB равен \(\alpha\). Диагональ AC делит угол DAB пополам, поэтому \(AC=2a\cos(\alpha/2)\).
2. По условию AC=AB=a, следовательно, \(2a\cos(\alpha/2)=a\), откуда \(\cos(\alpha/2)=1/2\) и \(\alpha=120^\circ\).
3. В ромбе диагонали перпендикулярны, поэтому \(\angle BOC=90^\circ\). Так как OP — биссектриса этого угла, \(\angle POC=45^\circ\).
4. Стороны AB и DC параллельны. Поскольку OK\(\perp\) DC, также OK\(\perp\) AB. В равнобедренном треугольнике ABC угол между AC и AB равен 60°; следовательно, угол между OC и OK равен 30°.
5. Луч OP лежит внутри угла COB, а луч OK направлен от O к стороне DC. Поэтому \(\angle POK=45^\circ+30^\circ=75^\circ\).

Ответ: 75°.