3. На сторонах AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки M, N, P и Q так, что AM=CP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA. Докажите, что ABCD и MNPQ — параллелограммы.

Из равенств \(AM=CP\) и \(BM=DP\) следует:

\(AB=AM+BM=CP+DP=CD\).

Кроме того, поскольку \(AM=CP\), то \(BM=AB-AM=CD-CP=DP\). По условию это согласуется с равенством \(BM=DP\). Аналогично из \(BN=DQ\) и \(NC=QA\) получаем \(BC=BN+NC=DQ+QA=DA\).

Итак, в четырёхугольнике ABCD обе пары противоположных сторон равны, поэтому ABCD — параллелограмм.

Обозначим \(AB=a\), \(BC=b\), а векторы сторон параллелограмма — \(\overrightarrow{AB}=\mathbf u\) и \(\overrightarrow{BC}=\mathbf v\). Из условий \(AM=CP\) и \(BM=DP\), при равных \(AB=CD\), следует, что \(M\) и \(P\) — середины сторон AB и CD. Действительно, если \(AM=x\), то \(BM=a-x\), а равенства дают \(CP=x\) и \(DP=a-x\); значит, \(x=a-x\). Аналогично N и Q — середины BC и DA.

Положим \(A=(0,0)\), \(B=\mathbf u\), \(D=\mathbf v\), \(C=\mathbf u+\mathbf v\). Тогда:

\(M=\frac{\mathbf u}{2}\), \(N=\mathbf u+\frac{\mathbf v}{2}\), \(P=\frac{\mathbf u}{2}+\mathbf v\), \(Q=\frac{\mathbf v}{2}\).

Отсюда \(\overrightarrow{MN}=\frac{\mathbf u+\mathbf v}{2}=\overrightarrow{QP}\), а \(\overrightarrow{NP}=\frac{\mathbf v-\mathbf u}{2}=\overrightarrow{MQ}\). У MNPQ обе пары противоположных сторон равны и параллельны, следовательно, MNPQ — параллелограмм.