4. Докажите, что при натуральных n ≥ 3 выполняется неравенство 1/(n+1) + 1/(n+2) + ⋯ + 1/(2n) > 3/5.

При \(n=3\) непосредственно получаем:

\(\frac14+\frac15+\frac16=\frac{37}{60}>\frac{36}{60}=\frac35\).

Пусть теперь \(n\ge4\). Сгруппируем слагаемые попарно: для каждого \(k=1,\ldots,n\) рассмотрим \(\frac1{n+k}\) и \(\frac1{2n+1-k}\). Эти пары вместе составляют все слагаемые суммы. По неравенству между средним арифметическим и средним гармоническим (или из выпуклости функции \(1/x\)) имеем:

\(\frac1{n+k}+\frac1{2n+1-k}\ge \frac4{3n+1}\), поскольку сумма знаменателей равна \(3n+1\).

Объединив слагаемые в пары, получаем:

\(\sum_{j=1}^{n}\frac1{n+j}\ge \frac{2n}{3n+1}>\frac35\), так как \(\frac{2n}{3n+1}>\frac35\) равносильно \(n>3\).

Вместе со случаем \(n=3\) это доказывает утверждение для всех натуральных \(n\ge3\).