№ 3. На сторонах PQ и QR ромба PQR S взяты точки A и B соответственно так, что PA : AQ = 1 : 2, QB : BR = 3 : 1. Известно, что сторона ромба равна 12 см, а один из углов ромба равен 60°60°. Найдите длину отрезка AB.

Угол на фото читается неоднозначно как «60°60°». Возможны два прочтения: 60° или 60°60°. Второе не является допустимой записью величины угла, поэтому вычисление возможно для стандартного прочтения 60°.

Из отношений получаем \(PA=4\) см и \(QB=9\) см. При угле ромба 60° угол между направлением \(PQ\) и направлением \(QR\) равен либо 60°, либо 120° — в зависимости от того, какой угол ромба равен 60° и как ориентированы стороны. Поэтому длина AB может иметь два значения.

По теореме косинусов для треугольника с составляющими вдоль PQ и QR:

Если угол между направлениями равен 60°: \(AB^2=4^2+9^2-2\cdot4\cdot9\cos60°=61\), следовательно, \(AB=\sqrt{61}\) см.

Если угол между направлениями равен 120°: \(AB^2=4^2+9^2-2\cdot4\cdot9\cos120°=133\), следовательно, \(AB=\sqrt{133}\) см.

Чтобы выбрать один результат, необходимо уточнить, какой именно угол ромба равен 60° (например, \(\angle PQR\) или соседний с ним угол).