3. Начертите на координатной плоскости треугольник АРС, если А(-3; −4), P(1; 4), С(5; −1). Найдите координаты точек пересечения стороны РС с осью х и стороны АР с осью у.

Решение:

1. Нанесём точки A(-3; -4), P(1; 4), C(5; -1) на координатную плоскость и соединим их отрезками, чтобы получить треугольник АРС.

2. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки P(1; 4) и C(5; -1).

Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \).

Подставляем координаты точек P и C:

\( 4 = 1k + b \) (1)

\( -1 = 5k + b \) (2)

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

\( (4) - (-1) = (k + b) - (5k + b) \)

\( 5 = -4k \)

\( k = -\frac{5}{4} \)

Подставим \( k \) в уравнение (1):

\( 4 = 1\left(-\frac{5}{4}\right) + b \)

\( 4 = -\frac{5}{4} + b \)

\( b = 4 + \frac{5}{4} = \frac{16+5}{4} = \frac{21}{4} \)

Уравнение прямой PC: \( y = -\frac{5}{4}x + \frac{21}{4} \).

Сторона РС пересекает ось X, когда \( y=0 \):

\( 0 = -\frac{5}{4}x + \frac{21}{4} \)

\( \frac{5}{4}x = \frac{21}{4} \)

\( x = \frac{21}{5} = 4.2 \)

Точка пересечения стороны РС с осью X: (4.2; 0).

3. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A(-3; -4) и P(1; 4).

\( -4 = -3k + b \) (1)

\( 4 = 1k + b \) (2)

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

\( 4 - (-4) = (k + b) - (-3k + b) \)

\( 8 = 4k \)

\( k = 2 \)

Подставим \( k \) в уравнение (2):

\( 4 = 1(2) + b \)

\( 4 = 2 + b \)

\( b = 2 \)

Уравнение прямой AP: \( y = 2x + 2 \).

Сторона AP пересекает ось Y, когда \( x=0 \):

\( y = 2(0) + 2 = 2 \)

Точка пересечения стороны AP с осью Y: (0; 2).

Ответ: Точка пересечения стороны РС с осью X — (4.2; 0). Точка пересечения стороны АР с осью Y — (0; 2).