3. Найдите КПД наклонной плоскости длиной 2 м и высотой 0,5 м, если коэффициент трения 0,2.

Решение:

КПД (коэффициент полезного действия) наклонной плоскости определяется как отношение полезной работы \( A_{\text{пол}} \) к полной работе \( A_{\text{полн}} \), выраженное в процентах:

\[ \text{КПД} = \frac{A_{\text{пол}}}{A_{\text{полн}}} \cdot 100\% \]

Полезная работа — это работа по подъему груза на высоту \( h \): \( A_{\text{пол}} = mgh \).

Полная работа — это работа, совершаемая при подъеме груза с учетом силы трения. Сила трения \( F_{\text{тр}} = \mu N \). На наклонной плоскости сила нормальной реакции опоры \( N = mg \cos{\alpha} \), где \( \alpha \) — угол наклона плоскости. Работа силы трения \( A_{\text{тр}} = F_{\text{тр}} L = \mu mg \cos{\alpha} L \), где \( L \) — длина наклонной плоскости.

Полная работа \( A_{\text{полн}} = A_{\text{пол}} + A_{\text{тр}} = mgh + \mu mg \cos{\alpha} L \).

Из геометрии наклонной плоскости: \( \sin{\alpha} = \frac{h}{L} = \frac{0.5 \text{ м}}{2 \text{ м}} = 0.25 \).

Найдем \( \cos{\alpha} \): \( \cos{\alpha} = \sqrt{1 - \sin^2{\alpha}} = \sqrt{1 - 0.25^2} = \sqrt{1 - 0.0625} = \sqrt{0.9375} \approx 0.968 \).

Подставим значения в формулу КПД:

\[ \text{КПД} = \frac{mgh}{mgh + \mu mg \cos{\alpha} L} \cdot 100\% = \frac{gh}{gh + \mu \cos{\alpha} L} \cdot 100\% \]

Подставим значения: \( g \approx 10 \text{ м/с}^2 \), \( h = 0.5 \text{ м} \), \( \mu = 0.2 \) , \( \cos{\alpha} \approx 0.968 \), \( L = 2 \text{ м} \).

\[ \text{КПД} = \frac{10 \cdot 0.5}{10 \cdot 0.5 + 0.2 \cdot 0.968 \cdot 2} \cdot 100\% = \frac{5}{5 + 0.3872} \cdot 100\% = \frac{5}{5.3872} \cdot 100\% \approx 0.928 \cdot 100\% = 92.8\% \]

Ответ: 92,8%.