3. Найдите неизвестную величину по данным чертежа: ∠MKN — ?

В этой задаче у нас есть круг с центром O. MK и NK — касательные к кругу, проведенные из точки K. MN — хорда, соединяющая точки касания.

По условию дано:

• OK = 8 (расстояние от точки K до центра круга)
• r = 4 (радиус круга)

Мы знаем, что радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Значит, ∠OMK = 90° и ∠ONK = 90°.

Рассмотрим треугольник OMK. Он прямоугольный, с гипотенузой OK = 8 и катетом OM = r = 4.

Мы можем найти угол ∠MOK, используя тригонометрию:

\[ \sin(\angle MOK) = \frac{OM}{OK} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]

Следовательно,
\[ \angle MOK = \arcsin(\frac{1}{2}) = 30° \]

Аналогично, в прямоугольном треугольнике ONK,
\[ \sin(\angle NOK) = \frac{ON}{OK} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]

Значит,
\[ \angle NOK = 30° \]

Угол ∠MON — центральный угол, который равен сумме углов ∠MOK и ∠NOK:

\[ \angle MON = \angle MOK + \angle NOK = 30° + 30° = 60° \]

Угол ∠MKN — это угол между двумя касательными. Мы знаем, что сумма углов ∠MON и ∠MKN равна 180° (так как OMK N — это вписанный четырехугольник, где ∠OMK = ∠ONK = 90°).

\[ \angle MKN = 180° - \angle MON = 180° - 60° = 120° \]

Ответ: 120°