3. Найдите неизвестные элементы треугольника PKM, если: ∠P = 40°, PK = 2 см, KM = 5 см.

По теореме синусов, поскольку стороне KM = 5 см противолежит угол P, а стороне PK = 2 см — угол M:

\(\frac{\sin M}{2}=\frac{\sin40^\circ}{5}\), поэтому \(\sin M=\frac{2\sin40^\circ}{5}\approx0.2571\).

Отсюда \(M\approx14.9^\circ\). Дополнительный вариант \(180^\circ-14.9^\circ\) невозможен: вместе с углом P он превысил бы 180°.

Сумма углов треугольника даёт \(K=180^\circ-40^\circ-14.9^\circ\approx125.1^\circ\).

Снова применим теорему синусов: \(\frac{PM}{\sin K}=\frac{5}{\sin40^\circ}\), откуда \(PM=\frac{5\sin125.1^\circ}{\sin40^\circ}\approx6.37\) см.

Ответ: ∠M ≈ 14,9°, ∠K ≈ 125,1°, PM ≈ 6,37 см.