3. Найдите неизвестные элементы треугольника РКМ, если: ∠Р = 40°, РК = 2 см, КМ = 5 см.

Обозначим стороны, лежащие напротив углов Р, К и М, соответственно: КМ, РМ и РК. По теореме синусов:

\[\frac{\sin M}{PK}=\frac{\sin P}{KM},\qquad \sin M=\frac{2\sin40^\circ}{5}.\]

Отсюда \(M\approx14.90^\circ\). Дополнительный угол \(180^\circ-14.90^\circ\) не подходит, поскольку вместе с углом Р он превысил бы \(180^\circ\).

Найдём третий угол:

\[K=180^\circ-40^\circ-14.90^\circ\approx125.10^\circ.\]

Снова применим теорему синусов для стороны РМ:

\[\frac{PM}{\sin K}=\frac{KM}{\sin P},\qquad PM=\frac{5\sin125.10^\circ}{\sin40^\circ}\approx6.36\text{ см}.\]

Ответ: ∠К ≈ 125,10°, ∠М ≈ 14,90°, РМ ≈ 6,36 см.