3. Найдите острый угол между высотой СН и биссектрисой СК прямоугольного треугольника АВС (С = 90°), если А = 63°

Дано:

• Прямоугольный треугольник ABC;
• √C = 90°;
• √A = 63°;
• CH — высота;
• CK — биссектриса.

Найти: Острый угол между CH и CK (∣HCK).

Решение:

1. Найдем угол √B в треугольнике ABC:
• √B = 90° - √A = 90° - 63° = 27°.
2. Рассмотрим высоту CH. В прямоугольном треугольнике ACH, √ACH = 90° - √A = 90° - 63° = 27°.
3. Рассмотрим биссектрису CK. Биссектриса делит угол C пополам:
• √ACK = √KCB = √C / 2 = 90° / 2 = 45°.
4. Теперь найдем угол между высотой CH и биссектрисой CK. Этот угол равен разности угла √ACK и угла √ACH (или наоборот, в зависимости от того, где лежит точка H относительно K):
• ∣HCK = √ACK - √ACH
• ∣HCK = 45° - 27°
• ∣HCK = 18°
5. (Альтернативный вариант: если бы угол A был меньше 45°, то угол ACH был бы больше ACK, и мы бы вычитали ACK из ACH. В данном случае √A = 63°, √ACH = 27°, √ACK = 45°. Так как 27° < 45°, точка H лежит между A и K. Следовательно, ∣HCK = √ACK - √ACH.)

Ответ: 18°