3) Найдите первообразную функции f(x) = e^(-3x), график которой проходит через точку A(ln 2; 5/24).

Для нахождения первообразной функции f(x) = e^(-3x), мы сначала найдем общий вид первообразной, а затем определим константу, используя заданную точку A. 1. **Нахождение общего вида первообразной:** Первообразная функции e^(ax) имеет вид (1/a)*e^(ax) + C, где C - константа интегрирования. В нашем случае, a = -3, поэтому первообразная F(x) будет: $$F(x) = -\frac{1}{3}e^{-3x} + C$$ 2. **Использование точки A(ln 2; 5/24) для определения C:** Подставим координаты точки A(x = ln 2, y = 5/24) в полученное выражение для F(x): $$\frac{5}{24} = -\frac{1}{3}e^{-3(\ln 2)} + C$$ Используем свойство логарифмов: e^(a * ln b) = b^a $$\frac{5}{24} = -\frac{1}{3}e^{\ln 2^{-3}} + C$$ $$\frac{5}{24} = -\frac{1}{3}(2^{-3}) + C$$ $$\frac{5}{24} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8} + C$$ $$\frac{5}{24} = -\frac{1}{24} + C$$ Чтобы найти C, перенесем -1/24 на левую сторону: $$C = \frac{5}{24} + \frac{1}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$$ 3. **Запись окончательного ответа:** Подставим значение C обратно в выражение для F(x): $$F(x) = -\frac{1}{3}e^{-3x} + \frac{1}{4}$$ **Ответ:** Первообразная функции f(x) = e^(-3x), график которой проходит через точку A(ln 2; 5/24), равна F(x) = -1/3 * e^(-3x) + 1/4.