3. Найдите площадь треугольника. а) сторона 8, углы при двух других вершинах равны 75°; б) равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 4√2 и углами при основании 67,5°; в) основание 6, боковая сторона 3; внутренний отрезок — биссектриса угла при основании, он равен отрезку правой части противоположной стороны, угол между биссектрисой и боковой стороной равен 60°.

а) Третий угол равен 180° − 75° − 75° = 30°. Сторона 8 лежит напротив угла 75°, поэтому по теореме синусов другая боковая сторона тоже равна 8. Площадь:

S = (1/2) · 8 · 8 · sin 75° = 32 sin 75° = 8(√6 + √2).

б) Угол при вершине равен 180° − 2 · 67,5° = 45°. Площадь по двум сторонам и углу между ними:

S = (1/2) · (4√2)² · sin 45° = 16 · √2/2 = 8√2.

в) Обозначим вершины треугольника A (слева), B (сверху), C (справа), а точку пересечения биссектрисы с BC — D. Так как AD — биссектриса и угол BAD равен 60°, то угол DAC тоже равен 60°. По отметкам AD = DC, поэтому треугольник ADC равнобедренный; при угле ADC = 60° он равносторонний. Следовательно, AC = AD = DC = 6. Тогда угол A равен 120°, а площадь исходного треугольника:

S = (1/2) · AB · AC · sin 120° = (1/2) · 3 · 6 · √3/2 = 9√3/2.