4. Найдите длину отрезка, обозначенного буквой x. а) высота прямоугольного треугольника к гипотенузе делит её на отрезки 3 и 12; б) высота к гипотенузе делит её на отрезки x и 1, катет равен √8 и прилежит к отрезку 1; в) высота к гипотенузе делит её на отрезки x и 16, катет 6 прилежит к отрезку x.

а) Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, является средним геометрическим отрезков гипотенузы: x² = 3 · 12 = 36. Так как длина положительна, x = 6.

б) Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета. Здесь √8² = (x + 1) · 1, поэтому 8 = x + 1 и x = 7.

в) Для катета 6 проекция на гипотенузу равна x, а гипотенуза равна x + 16. Следовательно, 6² = x(x + 16), то есть x² + 16x − 36 = 0. Корни: x = −8 ± 2√25 = −8 ± 10. Отрицательный корень не подходит для длины, поэтому x = 2.