3. Найдите производную 2log_3(x) - e^(-x)

Задание 3. Производная от 2log₃(x) - e^-x

Чтобы найти производную этой функции, мы применим правила дифференцирования для каждого слагаемого по отдельности.

Необходимые правила:

• Производная от log_a(u) равна 1 / (u * ln(a)) * u'.
• Производная от e^u равна e^u * u'.
• Правило дифференцирования разности: (f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x).

Применяем правила:

1. Найдем производную первого слагаемого, 2log₃(x):
• Константу 2 можно вынести за знак производной: 2 * (log₃(x))'.
• Производная от log₃(x) (где u = x, a = 3) равна 1 / (x * ln(3)).
• Итак, производная от 2log₃(x) равна 2 / (x * ln(3)).
2. Найдем производную второго слагаемого, e^-x:
• Внешняя функция — e^u, производная — e^u.
• Внутренняя функция — -x, производная — -1.
• Производная от e^-x равна e^-x * (-1) = -e^-x.
3. Теперь вычтем производную второго слагаемого из производной первого:
• (2log₃(x) - e^-x)' = (2log₃(x))' - (e^-x)'
• = (2 / (x * ln(3))) - (-e^-x)
• = 2 / (x * ln(3)) + e^-x

Ответ: \( \frac{2}{x \ln(3)} + e^{-x} \)