4. Найдите производную e^sqrt(x)

Задание 4. Производная от e^√x

Для решения этой задачи воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (правилом цепочки).

Необходимые правила:

• Производная от e^u равна e^u * u', где u' — производная внутренней функции.
• Производная от √x (что то же самое, что x^1/2) равна (1/2) * x^-1/2, или 1 / (2√x).

Применяем правила:

1. Внешняя функция — e^u, где u = √x. Ее производная — e^√x.
2. Внутренняя функция — √x. Ее производная — 1 / (2√x).
3. По правилу цепочки, умножаем производную внешней функции на производную внутренней: \[ \frac{d}{dx}(e^{\sqrt{x}}) = e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \]

Ответ: \( \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} \)